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洛谷P1072 Hankson的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c_1c1 和 c_2c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a_0,a_1,b_0,b_1a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 xx 满足：

1． xx 和 a_0a0 的最大公约数是 a_1a1；

2． xx 和 b_0b0 的最小公倍数是 b_1b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 xx。但稍加思索之后，他发现这样的 xx 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 xx 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 nn，表示有 nn 组输入数据。接下来的nn 行每行一组输入数据，为四个正整数 a_0,a_1,b_0,b_1a0,a1,b0,b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a_0a0 能被 a_1a1 整除，b_1b1 能被 b_0b0 整除。

输出格式

共 nn 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 xx，请输出 00，若存在这样的 xx，请输出满足条件的 xx 的个数；

输入输出样例

输入 #1复制

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出 #1复制

6 
2

说明/提示

样例解释

第一组输入数据，xx可以是 9,18,36,72,144,2889,18,36,72,144,288，共有 66 个。

第二组输入数据，xx 可以是 48,177648,1776，共有 22 个。

数据范围

• 对于 50%50% 的数据，保证有 1\leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 100001≤a0,a1,b0,b1≤10000 且 n \leq 100n≤100。
• 对于 100%100% 的数据，保证有 1 \leq a_0,a_1,b_0,b_1 \leq 2 \times 10^91≤a0,a1,b0,b1≤2×109 且 n≤2000n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

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分析

纯纯的数学题，对gcd分析可以得到

只要对x的值进行枚举就可以了，因为x是b1的因子，可以将x从1枚举到√b1，如果此时的x是b1的因子，那么就对x进一步判断是否符合条件，同时也要对另一个成对的因子即b1 / x进行判断。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long gcd(long long a, long long b)
{
    long long temp = a % b;
    while(temp)
    {
        a = b;
        b = temp;
        temp = a % b;
    }

    return b;
}

int main(int argc, const char * argv[])
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        long long a0, a1, b0, b1;
        long long cnt = 0;
        cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
        long long p = a0 / a1, q = b1 / b0;
        for(int i = 1; i * i <= b1; i++)
            if(b1 % i == 0)
            {
                if(i % a1 == 0 && gcd(i / a1, p) == 1 && gcd(q, b1 / i) == 1)
                    cnt++;
                long long j = b1 / i;
                if(j == i)
                    continue;
                if(j % a1 == 0 && gcd(j / a1, p) == 1 && gcd(q, b1 / j) == 1)
                    cnt++;
            }
        cout << cnt << endl;

    }

    return 0;
}